En seconde, un vecteur représente un déplacement défini par une direction, un sens et une norme. Tu dois savoir lire et écrire overrightarrowAB, reconnaître des vecteurs égaux, déterminer les coordonnées d’un vecteur dans un repère et utiliser ces notions pour résoudre des exercices simples.
Sur une figure, deux flèches de même longueur ne représentent pas toujours le même déplacement. En seconde, l’erreur la plus fréquente consiste à confondre la direction, le sens et la longueur du segment. Pour éviter cela, repère d’abord l’origine, puis l’extrémité, et termine par la norme. Dès que cet ordre devient habituel, les dessins sont plus lisibles et les calculs dans le repère deviennent moins intimidants. Prends le temps d’écrire correctement les notations, de comparer les déplacements plutôt que les segments seuls et de vérifier chaque réponse sur la figure avant de passer à l’exercice suivant.
Définitions : objectif, prérequis et vocabulaire des vecteurs
Prénom : ______ Date : ______
Niveau : Seconde Cycle : lycée Matière : Mathématiques Domaine : vecteurs
Un vecteur décrit un déplacement. En maths vecteurs seconde, en Seconde générale et technologique, tu repères sa direction, son sens et sa norme, puis tu relies cette idée au segment orienté overrightarrowAB. Avec cela, tu lis une figure plus vite et tu compares des représentants sans hésiter.
Objectif : reconnaître un vecteur sur une figure, nommer sa direction, son sens, sa norme et donner un représentant. Prérequis : placer deux points ; lire une droite ; mesurer une longueur.
overrightarrowAB part de $A$ et arrive en $B$. Sa direction est celle de la droite $(AB)$, son sens va de $A$ vers $B$, sa norme est la longueur $AB$. Deux représentants d’un même vecteur gardent ces trois éléments, même s’ils sont dessinés ailleurs.
| Terme | Repère rapide |
|---|---|
| Direction | la droite support |
| Sens | de l’origine vers l’extrémité |
| Norme | la longueur |
Un segment orienté devient un représentant quand le départ et l’arrivée sont fixés : A longrightarrow B. La flèche compte. Beaucoup confondent la droite et le vecteur : même direction ne suffit pas, car le sens et la norme doivent aussi coïncider.
Coordonnées : calculer, norme, égalité, opposés et colinéarité
Sur un quadrillage, prends A(1 ;2) et B(4 ;-1). Trois cases à droite, trois vers le bas. Voilà les coordonnées d’un vecteur : $$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\, ;\, y_B-y_A)=(4-1\, ;\,-1-2)=(3\, ;\,-3).$$ Dans un repère, on soustrait toujours le point de départ au point d’arrivée. Très concret. Deux vecteurs ont une égalité de vecteurs si leurs coordonnées sont les mêmes. Ils sont opposés si les coordonnées sont contraires, par exemple (3 ;-3) et (-3 ;3). La norme donne la longueur : |overrightarrowu|=sqrtx^2+y^2, donc |overrightarrowAB|=sqrt18=3sqrt2. Pour la colinéarité, cherche un même nombre $k$ tel que (x' ; y')=(kx ; ky) ; même direction si $k>0$, direction opposée si $k<0$.
| Situation | Test | Conclusion |
|---|---|---|
| Coordonnées | overrightarrowAB(x_B-x_A ; y_B-y_A) | Arrivée moins départ |
| Égalité | Mêmes coordonnées | Même direction, même sens, même longueur |
| Opposés | (x' ; y')=(-x ;-y) | Sens contraire |
| Norme | |overrightarrowu|=sqrtx^2+y^2 | Longueur du vecteur |
| Colinéarité | (x' ; y')=(kx ; ky) | Même direction ou direction opposée |
Relation de Chasles : méthode et propriété du parallélogramme
Relation de Chasles : overrightarrowAB+overrightarrowBC=overrightarrowAC. Tu enchaînes deux translations et tu obtiens un seul déplacement. Dans un parallélogramme $ABCD$, la diagonale issue de $A$ vérifie aussi overrightarrowAB+overrightarrowAD=overrightarrowAC.
Michel Chasles a donné son nom à une règle très simple. En maths vecteurs seconde, pense à un trajet : aller de $A$ vers $B$, puis de $B$ vers $C$, revient à aller directement de $A$ vers $C$. Très concret. La somme de vecteurs se construit bout à bout, ou avec la propriété du parallélogramme quand deux vecteurs partent du même point.
Si tu traces overrightarrowAB et overrightarrowAD depuis $A$, complète le parallélogramme $ABCD$ : la diagonale overrightarrowAC donne leur somme. Rapide, mais seulement si le sens est juste. L’erreur classique reste l’ordre des lettres. overrightarrowAB va de $A$ vers $B$, tandis que overrightarrowBA=-overrightarrowAB.
1. Repère le point de départ et le point d’arrivée.
2. Écris les vecteurs dans le bon ordre.
3. Trace, ou calcule la somme.
4. Vérifie le sens final.
| Écriture | Lecture utile |
|---|---|
| overrightarrowAB+overrightarrowBC=overrightarrowAC | enchaîner deux déplacements |
| overrightarrowAB+overrightarrowAD=overrightarrowAC | diagonale du parallélogramme |
| overrightarrowBA=-overrightarrowAB | ordre inversé, sens inversé |
Exemples résolus : de la figure aux calculs
Sur un parallélogramme, l’œil va vite. La rédaction, elle, doit rester nette. Données : $ABCD$ est un parallélogramme. On veut montrer que overrightarrowAB=overrightarrowDC. Propriété : dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur ; les vecteurs portés par left(ABright) et left(DCright) ont donc même direction, même sens et même norme. Calcul : ici, il n’y a pas de nombres à poser, on lit la figure. Conclusion : overrightarrowAB=overrightarrowDC. C’est la bonne méthode, car deux vecteurs sont égaux dès que ces trois éléments coïncident.
Autre cas, plus fréquent en calculs de vecteurs. Dans un repère, prends $A(1 ;2)$, $B(4 ;5)$ et $C(6 ;1)$. Données : $\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A})=(4-1 ;5-2)=(3 ;3)$. Puis $\overrightarrow{BC}=(6-4 ;1-5)=(2 ;-4)$. Propriété : la relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Calcul : $(3 ;3)+(2 ;-4)=(5 ;-1)$, donc $\overrightarrow{AC}=(5 ;-1)$. Conclusion : tu obtiens la somme sans confondre origine et extrémité. En coordonnées, cette correction expliquée marche toujours : soustraire pour chaque vecteur, puis additionner seulement des vecteurs déjà bien orientés.
Exercices progressifs et correction
Synthèse : overrightarrowAB=(x_B-x_A ; y_B-y_A), overrightarrowAB+overrightarrowBC=overrightarrowAC, et deux vecteurs égaux ont même direction, même sens, même norme.
| But | Formule |
|---|---|
| Coordonnées | overrightarrowAB=(x_B-x_A ; y_B-y_A) |
| Somme | overrightarrowAB+overrightarrowBC=overrightarrowAC |
Exercices vecteurs seconde sur ton PDF à imprimer A4 : écris directement sur la fiche révision.
Exercice 1 ⭐
Complète : direction ______, sens ______, norme ______.
Exercice 2 ⭐
Calcule : $A(1 ;2)$, $B(5 ;4)$, overrightarrowAB= ______.
Exercice 3 ⭐
Calcule : $C(-1 ;3)$, $D(2 ;1)$, overrightarrowCD= ______.
Exercice 4 ⭐⭐
Complète : overrightarrowAB+overrightarrowBC= ______.
Exercice 5 ⭐⭐
Coche : overrightarrowAB=overrightarrowDC ☐ oui ☐ non, avec $A(0 ;0)$, $B(2 ;1)$, $D(3 ;2)$, $C(5 ;3)$.
Exercice 6 ⭐⭐
Calcule : si overrightarrowu=(3 ;-2), alors 2overrightarrowu= ______.
Exercice 7 ⭐⭐⭐
Justifie : $A(0 ;0)$, $B(2 ;2)$, $C(3 ;3)$ sont-ils alignés ? ______.
Exercice 8 ⭐⭐⭐
Trouve $D$ pour un parallélogramme $ABCD$ avec $A(1 ;1)$, $B(4 ;1)$, $C(6 ;3)$ : $D($ ______ ; ______ $)$.
Défi bonus : trouve $E$ si overrightarrowAE=overrightarrowAB+overrightarrowAC avec $A(0 ;0)$, $B(2 ;1)$, $C(1 ;3)$.
Correction vecteurs seconde : compare, puis recommence l’exercice faux sans regarder.
Exercice 1
direction, sens, norme. Ce sont les trois critères d’égalité.
Exercice 2
$(4 ;2)$. On soustrait les coordonnées de $A$ à celles de $B$.
Exercice 3
$(3 ;-2)$. Même méthode de soustraction.
Exercice 4
overrightarrowAC. C’est la relation de Chasles.
Exercice 5
oui. overrightarrowAB=(2 ;1) et overrightarrowDC=(2 ;1).
Exercice 6
$(6 ;-4)$. On multiplie chaque coordonnée par 2.
Exercice 7
oui. overrightarrowAC=frac32overrightarrowAB, donc les vecteurs sont colinéaires.
Exercice 8
$D(3 ;3)$. Dans un parallélogramme, overrightarrowAD=overrightarrowBC.
Défi bonus : $E(3 ;4)$. On additionne $(2 ;1)$ et $(1 ;3)$.
Avant de rendre ton travail, vérifie toujours trois points : direction, sens, norme. Si un dessin te semble confus, reformule le déplacement avec des mots, puis réécris le vecteur proprement. Refais ensuite les exercices dans l’ordre, en corrigeant au stylo d’une autre couleur ce qui bloque encore. À force de comparer, de lire un repère et de justifier chaque réponse, les vecteurs deviennent un outil solide pour toute la géométrie de seconde.
