Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre fixé. Elle traduit une situation de proportionnalité et son graphique est une droite qui passe par l’origine du repère.

Tu hésites encore entre y = 3x et y = 3x + 2 ? C’est normal : cette confusion est l’une des plus fréquentes au collège et au lycée. En classe comme en révision, je constate qu’on reconnaît mieux une fonction linéaire quand on la relie tout de suite à la proportionnalité, au tableau de valeurs et au graphique. L’idée essentielle est simple, mais elle demande des repères sûrs : une écriture précise, un coefficient bien identifié et un réflexe visuel efficace pour ne pas confondre avec une fonction affine.

Définition d’une fonction linéaire : la règle simple à retenir

Une fonction linéaire est une fonction qui s’écrit f(x)=ax, où a est un nombre fixé, appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité. Son graphique est une droite qui passe toujours par l’origine du repère. Dans beaucoup de cours, vous verrez aussi l’écriture y = ax, strictement équivalente.

La fonction linéaire définition simple, au collège et au lycée, tient donc en une règle unique : à tout nombre x, on associe le produit ax. On note cela f : x ↦ ax. Le nombre a joue un rôle central : il fixe le rapport de proportionnalité entre l’entrée et la sortie. Si a = 3, alors l’image de 4 est 12, car f(4)=3×4=12. Si a = -2, la fonction change de sens, puisque les images deviennent négatives quand x est positif. En mathématiques élémentaires, cette définition scolaire est plus étroite que celle employée en analyse, où une application linéaire désigne un objet plus général, étudié plus tard. Pour les classes de 3e et de Seconde, retenez la version utile : une fonction linéaire modélise une relation proportionnelle.

Le lien avec la proportionnalité est direct. Si une grandeur vaut toujours a fois une autre, la situation peut être modélisée par une fonction linéaire. Exemple très simple : si un cahier coûte 2 euros, le prix total de x cahiers est f(x)=2x. L’image et antécédent se lisent alors facilement : l’image de 5 est 10 ; un antécédent de 14 est 7, car 2×7=14. Cette fonction linéaire def permet aussi de reconnaître vite un tableau de valeurs : si le quotient y/x reste constant, hors cas x=0, on est bien dans une relation de proportionnalité. Par conséquent, la représentation graphique est une droite passant par l’origine, ce qui fournit un second critère de repérage.

La confusion la plus fréquente concerne la différence entre fonction linéaire et fonction affine. Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+b. En revanche, une fonction linéaire n’a pas de terme ajouté : elle s’écrit seulement f(x)=ax. Ainsi, f(x)=3x est linéaire, mais g(x)=3x+2 ne l’est pas, même si son graphique est aussi une droite. Le test est rapide : si la droite ne passe pas par l’origine du repère, ce n’est pas une fonction linéaire. J’insiste souvent sur ce point en classe, car beaucoup d’erreurs viennent de là.

Comment reconnaître une fonction linéaire en 30 secondes : tableau, formule, graphique

Pour savoir si c’est une fonction linéaire, teste trois indices très vite : la formule doit être de la forme ax, le tableau de valeurs doit traduire une proportionnalité, et le graphique doit être une droite qui passe par l’origine. Si un seul test échoue, ce n’est pas linéaire. C’est la méthode la plus rapide en devoir.

Quand l’énoncé donne une formule, le repérage est immédiat. Une fonction linéaire s’écrit f(x)=ax, avec un nombre a appelé coefficient directeur. C’est tout. Pas de constante ajoutée. Donc y=2x est linéaire, et y=-0,5x aussi. En revanche, y=2x+3 n’est pas une fonction linéaire : c’est une fonction affine, car le +3 casse le passage par l’origine. Même réflexe avec y=x² : ce n’est pas de la forme ax, donc ce n’est pas linéaire. Court et net. Pour un fonction linéaire exemple, retenez f(x)=4x : l’image de 3 vaut 12, l’image de -2 vaut -8. Si l’exercice demande de déterminer une fonction linéaire à partir d’un nombre et de son image, on cherche simplement a. Par exemple, si f(5)=20, alors a=20/5=4, donc f(x)=4x.

Avec un tableau de proportionnalité, le bon test consiste à comparer les quotients y/x, pour les valeurs de x non nulles. S’ils sont constants, la situation est proportionnelle, donc la fonction peut être linéaire. Exemple : x : 1, 2, 5 et y : 3, 6, 15. On obtient 3/1=3, 6/2=3, 15/5=3 : le quotient reste constant, donc f(x)=3x. En revanche, si le tableau donne x : 1, 2, 3 et y : 2, 5, 6, les rapports changent. Ce n’est pas linéaire. Attention au piège classique : regarder seulement les écarts. Une augmentation régulière ne suffit pas toujours. Pour une fonction linéaire, il faut une vraie proportionnalité. Si x=0 apparaît dans le tableau, vérifiez aussi que son image vaut 0. Sinon, le doute n’est plus permis.

Sur un fonction linéaire graphique, cherchez une droite, puis vérifiez qu’elle passe exactement par l’origine, c’est-à-dire le point (0 ; 0). Les deux conditions sont nécessaires. Une courbe, même régulière, ne convient pas : y=x² donne une parabole. Une droite qui coupe l’axe vertical en 3 non plus : elle représente plutôt y=2x+3. Voilà le contre-exemple typique. Le coefficient directeur se lit alors comme le nombre par lequel on multiplie x pour obtenir l’image. Si la droite passe par (0 ; 0) et (2 ; 6), alors a=6/2=3, donc la fonction est f(x)=3x. En classe, je conseille ce réflexe simple : forme, quotient, origine. En trente secondes, vous savez comment savoir si c’est une fonction linéaire, sans confondre avec une fonction affine.

Le test express : 3 vérifications à faire avant de répondre

Pour reconnaître une fonction linéaire en quelques secondes, faites toujours 3 vérifications : l’expression doit être de la forme ax, le quotient f(x)/x doit rester constant quand x n’est pas nul, et la représentation graphique doit être une droite qui passe par l’origine. Si un seul test échoue, ce n’est pas une fonction linéaire.

Prenons f(x)=3x. La forme est bien ax. Puis, pour x = 2, on a 6/2 = 3 ; pour x = 5, on a 15/5 = 3 : le quotient est constant. Enfin, la droite passe par le point (0 ; 0). Les trois signaux concordent. En revanche, avec g(x)=3x+2, la forme n’est plus linéaire mais affine. Le quotient varie, car 8/2 = 4 et 17/5 = 3,4. Sur le graphique, la droite ne passe pas par l’origine. Par conséquent, la réponse doit être non, même si la courbe est une droite.

Fonction linéaire ou fonction affine : la confusion la plus fréquente

Une fonction linéaire s’écrit f(x)=ax. Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+b. Toute fonction linéaire est donc affine avec b=0, mais une fonction affine n’est linéaire que si sa droite passe par l’origine du repère. C’est la différence clé à repérer vite en exercice.

En classe, la confusion fonction linéaire ou affine revient sans cesse. La raison est simple : dans les deux cas, le graphique est une droite. Beaucoup d’élèves s’arrêtent là et concluent trop vite. Or la vraie question est ailleurs : y a-t-il un terme constant ? Si la formule est de type y=ax, on est dans une situation de proportionnalité. Si la formule est de type y=ax+b, avec b non nul, ce n’est plus proportionnel. Graphiquement, cela change tout : la droite d’une fonction linéaire passe par le point (0 ; 0), donc par l’origine du repère. Une fonction affine peut couper l’axe des ordonnées plus haut ou plus bas. C’est souvent là que se glisse l’erreur dans les PAA, surtout quand on lit trop vite un graphique ou qu’on recopie une formule sans vérifier le + b.

Si vous vous demandez Quelle est la différence entre une fonction affine et linéaire, retenez ce test rapide : regardez d’abord si la valeur pour x=0 vaut 0. Si oui, la piste linéaire est sérieuse. Sinon, c’est une fonction affine. Autre piège fréquent : écrire f(x)=2x+0 puis oublier que cela reste linéaire. À l’inverse, f(x)=2x+1 n’est pas linéaire, même si le coefficient 2 ressemble à celui d’une proportionnalité. Selon les niveaux, le vocabulaire varie un peu : certains chapitres insistent sur la famille des fonctions affines, d’autres isolent la fonction linéaire comme cas particulier. Pour répondre à Comment savoir si une fonction est linéaire ou affiné, il faut donc vérifier la formule, le passage par l’origine et le sens concret de la situation. En évaluation, une simple omission du terme constant suffit à faire basculer toute la réponse.

Représenter une fonction linéaire et l’utiliser dans un cas concret

Pour représenter une fonction linéaire, place d’abord l’origine dans le repère, puis un second point simple, souvent (1 ; a), puisque f(1) = a. Il suffit ensuite de tracer la droite. Cette méthode rapide permet aussi de lire une situation de proportionnalité, par exemple un prix au kilo ou une distance parcourue à vitesse constante.

La méthode la plus efficace repose sur la forme f(x) = ax. Une fonction linéaire graphique est donc une droite d’équation y = ax qui passe toujours par l’origine, car f(0) = 0. C’est le signe distinctif à repérer sans hésiter. Pour tracer cette droite, vous n’avez pas besoin d’un tableau complet : l’origine (0 ; 0) est déjà connue, et le point (1 ; a) se lit immédiatement dans la formule. Si, par exemple, f(x) = 3x, alors f(1) = 3 et vous placez le point (1 ; 3). Deux points suffisent pour déterminer une droite. En revanche, si la droite ne passe pas par l’origine, ce n’est pas une fonction linéaire, même si elle est droite : c’est alors une fonction affine. Cette distinction évite une confusion très fréquente en 3e et en Seconde.

Le lien avec le réel est direct, car fonction linéaire proportionnalité et situation de proportionnalité désignent la même structure mathématique. Prenons un prix au kilo : des pommes coûtent 2,50 € par kilogramme. Si x désigne la masse achetée, alors le prix est donné par P(x) = 2,5x. Le coefficient a = 2,5 traduit ici le prix d’une unité, donc d’un kilo. Vous passez ainsi du contexte à la formule, puis de la formule au graphique : l’origine correspond à 0 kg, 0 €, et le point (1 ; 2,5) signifie 1 kg coûte 2,50 €. Même logique pour une distance à vitesse constante : à 60 km/h, la distance parcourue après x heures est d(x) = 60x. Le point (1 ; 60) indique qu’en une heure, on parcourt 60 km. Par conséquent, le graphique visualise immédiatement la proportionnalité.

Le signe de a donne enfin une lecture rapide du tracé. Si a > 0, la droite monte de gauche à droite : plus x augmente, plus y augmente. Si a < 0, elle descend : la grandeur diminue quand l’autre augmente, ce qui peut modéliser une variation opposée, même si ce cas est moins fréquent dans les exemples usuels de proportionnalité. Si a = 0, on obtient f(x) = 0 pour tout x : la représentation se confond avec l’axe des abscisses. Cette lecture visuelle est très utile pour répondre vite à la question Comment représenter une fonction linéaire sans refaire tout le cours. Retenez surtout ceci : formule f(x)=ax, passage par l’origine, second point simple, puis droite.

Exercices types : déterminer une fonction linéaire et éviter les pièges

Pour déterminer une fonction linéaire, on cherche le coefficient a dans la formule f(x) = ax. Si l’on connaît une image, par exemple f(4) = 10, alors 10 = 4a, donc a = 2,5. La fonction est donc f(x) = 2,5x. C’est la méthode de base dans la plupart des fonction linéaire exercices corrigés.

Le cas classique consiste à déterminer une fonction linéaire à partir d'un nombre et de son image. La règle est simple, mais il faut être rigoureux : si f(6) = 15, alors 15 = 6a, d’où a = 15/6 = 2,5. On écrit ensuite f(x) = 2,5x. Même logique avec un tableau de valeurs : vous vérifiez si le quotient image / antécédent reste constant. Si, pour 2, 5 et 8, on obtient 6, 15 et 24, le rapport vaut toujours 3 ; c’est donc une situation de proportionnalité, et la fonction est f(x) = 3x. En revanche, si les rapports changent, ce n’est pas une fonction linéaire. Dans les fonction linéaire exercices de 3ème, cette vérification rapide fait gagner un temps précieux.

Sur un graphique, le réflexe juste est tout aussi net : une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l’origine, c’est-à-dire le point (0 ; 0). Sans cela, ce n’est pas linéaire. Même si la droite “a l’air régulière”. Pour vérifier, prenez un point lisible, par exemple (4 ; 10), puis calculez le coefficient : a = 10/4 = 2,5. Vous testez ensuite un autre point. Si la droite passe aussi par (2 ; 5), la cohérence est bonne. Erreurs fréquentes : écrire ax + b, qui correspond à une fonction affine ; confondre le coefficient avec l’image de 1, alors que cette image vaut justement a ; ou encore diviser dans le mauvais sens, en faisant 4/10 au lieu de 10/4. Le bon automatisme est stable : coefficient = image / antécédent.

Pour réviser efficacement, entraînez-vous sur quatre gestes : trouver a avec une donnée, compléter un tableau de valeurs, décider si une situation relève de la proportionnalité, puis lire un graphique sans vous fier à l’intuition seule. Je conseille souvent un mini plan simple : 10 minutes de calcul, 10 minutes de lecture graphique, 5 minutes d’auto-correction avec les pièges sous les yeux. C’est court. Mais très rentable. Pour des exercices corrigés fiables, appuyez-vous sur les ressources de l’Éducation nationale, d’Eduscol ou sur les manuels conformes aux programmes officiels ; vous pouvez aussi consulter les PDF d’accompagnement publiés par les académies, souvent très utiles pour consolider les bases de fonction linéaire 3ème et de Seconde.

qu'est-ce qu'une fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre réel. Elle associe à chaque nombre x son produit par a. Sa représentation graphique est une droite qui passe toujours par l’origine du repère. En collège, c’est la forme la plus simple des fonctions de proportionnalité.

fonction linéaire définition simple

Définition simple : une fonction linéaire multiplie le nombre de départ par une même valeur. On peut l’écrire f(x) = ax. Par exemple, f(x) = 3x est une fonction linéaire. Si x double, l’image double aussi : c’est pour cela qu’on parle de relation de proportionnalité.

Comment savoir si une fonction est linéaire ou affiné ?

Pour distinguer les deux, je regarde l’expression. Si la fonction s’écrit f(x) = ax, elle est linéaire. Si elle s’écrit f(x) = ax + b, elle est affine. La différence se joue donc sur la présence du terme b. Quand b = 0, une fonction affine devient une fonction linéaire.

Comment savoir si c'est une fonction linéaire ?

Une fonction est linéaire si elle peut s’écrire exactement sous la forme f(x) = ax, sans terme ajouté. On peut aussi vérifier que sa courbe est une droite passant par l’origine. Enfin, le rapport f(x)/x reste constant pour x non nul : c’est le coefficient a.

Quelle est la différence entre une fonction affine et linéaire ?

La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine. Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b, tandis qu’une fonction linéaire s’écrit f(x) = ax. La fonction affine n’est pas forcément proportionnelle, car elle peut avoir un terme constant b. La fonction linéaire, elle, passe toujours par l’origine.

Quelle fonction est linéaire ?

Est linéaire toute fonction qui a la forme f(x) = ax. Par exemple, f(x) = 5x, f(x) = -2x ou f(x) = 0x sont des fonctions linéaires. En revanche, f(x) = 5x + 1 ne l’est pas. Pour répondre vite, je vérifie toujours s’il y a seulement un produit par x.

Comment représenter une fonction linéaire ?

Pour représenter une fonction linéaire, je place d’abord l’origine O(0 ; 0), car la droite y passe toujours. Ensuite, je choisis une valeur de x, je calcule f(x), puis je place le point obtenu. Il suffit alors de tracer la droite passant par ces deux points. Le coefficient a donne la pente.

Comment savoir si une fonction est affine ou linéaire ?

Je commence par chercher si l’expression ressemble à ax + b. Si oui, la fonction est affine. Puis je regarde si b vaut 0 : dans ce cas précis, elle est aussi linéaire. Graphiquement, une fonction affine est une droite, mais elle n’est linéaire que si cette droite passe par l’origine.

Pour reconnaître une fonction linéaire, garde trois réflexes : vérifier qu’elle s’écrit f(x) = ax, repérer une situation de proportionnalité et contrôler que sa droite passe par l’origine. Si un nombre s’ajoute, comme dans ax + b, ce n’est plus une fonction linéaire. En révision, entraîne-toi avec un tableau, une formule et un graphique pour maîtriser vraiment la notion.

Mis à jour le 29 avril 2026