La variance d’une variable aléatoire mesure la dispersion autour de son espérance. Elle se calcule avec V(X)=E((X-E(X))²) ou avec la formule de König-Huygens V(X)=E(X²)-[E(X)]².
Deux variables peuvent avoir la même espérance et des résultats dispersés différemment. Tu apprendras à compléter une loi, calculer E(X), E(X²), la variance et l’écart-type.
Comprendre la formule de la variance
La variance mesure la dispersion autour de l’espérance : V(X)=E((X-E(X))²). König-Huygens : V(X)=E(X²)-[E(X)]².
Niveau : Première · Cycle : terminal · Matière : Mathématiques · Domaine : Probabilités et statistiques
Prénom : ________ · Date : ________
L’espérance E(X) est une moyenne théorique. La variance V(X), positive ou nulle, mesure l’étalement. L’écart-type σ(X)=√V(X) s’exprime dans la même unité que X.
Calculer la variance d'une variable aléatoire
Objectif : calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une loi discrète.
Prérequis : somme pondérée, carré, racine carrée.
- Vérifie que les probabilités ont pour somme 1.
- Calcule E(X)=ΣxᵢP(X=xᵢ).
- Calcule E(X²)=Σxᵢ²P(X=xᵢ).
- Applique V(X)=E(X²)-[E(X)]², puis σ(X)=√V(X).
Exemple : loi à deux valeurs
| xᵢ | P(X=xᵢ) | xᵢP(X=xᵢ) | xᵢ²P(X=xᵢ) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 1/2 | 1/2 |
| 3 | 1/2 | 3/2 | 9/2 |
E(X)=2 ; E(X²)=5 ; donc V(X)=1 et σ(X)=1.
Exemple : loi à trois valeurs
| xᵢ | P(X=xᵢ) | xᵢP(X=xᵢ) | xᵢ²P(X=xᵢ) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1/4 | 0 | 0 |
| 1 | 1/2 | 1/2 | 1/2 |
| 2 | 1/4 | 1/2 | 1 |
E(X)=1 ; E(X²)=3/2 ; V(X)=1/2 ; σ(X)=√2/2.
Exercices sur la variance et correction
Exercice 1 ★
Complète : V(X)=E(X²)-________. Réponse : ____________________
Exercice 2 ★
Calcule E(X) si X prend 2 avec probabilité 1/2 et 4 avec probabilité 1/2. Réponse : ____________________
Exercice 3 ★★
Complète la loi : xᵢ : 0 ; 1 ; 2. P(X=xᵢ) : 1/4 ; ______ ; 1/4.
Exercice 4 ★★
Complète les colonnes xᵢP(X=xᵢ) et xᵢ²P(X=xᵢ) pour xᵢ=1, P=1/2.
Exercice 5 ★★
Compare les dispersions : V(A)=1 et V(B)=3. Justifie : ____________________
Exercice 6 ★★
Calcule σ(X) lorsque V(X)=9. Réponse : ____________________
Exercice 7 ★★★
Défi : calcule V(X) si E(X)=2 et E(X²)=7. Réponse : ____________________
Correction
Exercice 1 : [E(X)]².
Exercice 2 : E(X)=3.
Exercice 3 : 1/2.
Exercice 4 : 1/2 et 1/2.
Exercice 5 : B est plus dispersée, car V(B)=3 est supérieure à V(A)=1.
Exercice 6 : σ(X)=3.
Exercice 7 : V(X)=3.
Foire aux questions
Comment se calcule la variance ?
Calcule E(X), puis E(X²), et soustrais [E(X)]². Vérifie que les probabilités totalisent 1.
Comment calculer la variance en probabilité ?
Calcule les sommes pondérées des valeurs, puis de leurs carrés. Leur différence donne la variance.
Comment calculer l’espérance et la variance ?
E(X)=ΣxᵢP(X=xᵢ). Calcule aussi Σxᵢ²P(X=xᵢ), puis applique König-Huygens.
Qu’est-ce que la variance en mathématiques ?
C’est un indicateur de dispersion. Elle est nulle si la variable est constante.
Comment calculer une variance et un écart-type ?
Après la variance, calcule σ(X)=√V(X), dans la même unité que X.
Comment comparer les variances de deux lois ?
À unité identique, la variance la plus grande correspond à la loi la plus dispersée.
Retrouve E(X) et E(X²), vérifie que la variance est positive ou nulle, puis calcule l’écart-type.
Contenu vérifié en septembre 2026
À propos de l'auteur
Camille Lefèvre, Rédactrice spécialisée en Français
Camille Lefèvre rédige les fiches de méthode et les exercices corrigés de la rubrique Français, pour les classes de lycée.
