Intégration par parties
L’intégration par parties est une méthode de calcul qui transforme l’intégrale d’un produit de fonctions. On choisit u et v′ puis on applique ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx afin d’obtenir une intégrale plus simple.
Face à l’intégrale ∫₀¹ xeˣ dx, chercher directement une primitive peut sembler bloquant. Le produit d’une fonction affine et d’une exponentielle indique pourtant un choix efficace : dériver x et intégrer eˣ. L’intégration par parties transforme ainsi une intégrale difficile en un calcul plus accessible. En Terminale, la qualité de la rédaction compte autant que le résultat : il faut annoncer clairement u, v′ et leurs dérivées ou primitives avant d’appliquer la formule.
Objectif, prérequis et définition de l’intégration par parties
Terminale · Cycle terminal · Mathématiques · Analyse
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À la fin de cette fiche, tu sauras reconnaître une situation adaptée, choisir u et v′, rédiger une IPP et calculer l’intégrale obtenue. Tu dois connaître les primitives usuelles, la dérivée d’un produit et le calcul d’une intégrale sur un intervalle.
Une primitive de f est une fonction F telle que F′ = f. Une intégrale est un calcul noté ∫ₐᵇ f(x) dx. Les bornes sont a et b. L’intégration par parties, abrégée IPP, vient directement de la formule de dérivation d’un produit.
Quand utiliser une IPP ?
Une IPP est utile devant un produit lorsqu’un facteur devient plus simple en étant dérivé et que l’autre possède une primitive immédiate. Les cas classiques sont xeˣ, x cos(x), ln(x) et xⁿeˣ. Ne l’emploie pas par réflexe : si une primitive est immédiate, elle reste le meilleur choix.
Repère d’abord la présence d’un produit, parfois implicite comme ln(x) · 1. Une IPP est pertinente si la dérivée d’un facteur simplifie réellement l’expression. Ainsi, dériver x donne 1, et dériver ln(x) donne 1/x. En revanche, dériver une exponentielle ne la simplifie pas. Vérifie toujours l’intégrale obtenue avant de poursuivre : elle doit être plus accessible que celle du départ.
Quelle est la formule de l’intégration par parties ?
Sans bornes, la formule est :
∫ u(x)v′(x) dx = u(x)v(x) − ∫ u′(x)v(x) dx.
Avec des bornes a et b, elle devient :
∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx.
Ici, u′ désigne la dérivée de u, tandis que v est une primitive de v′. La formule vient de (uv)′ = u′v + uv′. En intégrant cette égalité et en isolant ∫ uv′, on obtient l’IPP. Pour une intégrale définie, les crochets sont indispensables : [uv]ₐᵇ = u(b)v(b) − u(a)v(a).
Lire correctement une intégrale
∫ₐᵇ f(x) dx se lit « l’intégrale de f entre a et b ». La lettre x est une variable muette : elle peut être remplacée par une autre lettre. Le dx indique la variable intégrée. Une intégrale définie donne un nombre ; une recherche de primitive donne une fonction, à une constante près.
Dans ∫₀¹ xeˣ dx, les nombres 0 et 1 fixent l’intervalle étudié. On ne remplace pas x par les bornes avant d’avoir trouvé une primitive ou appliqué l’IPP. À l’inverse, ∫ xeˣ dx ne comporte pas de bornes : le résultat attendu est une famille de primitives, complétée par une constante C.
Comment faire une intégration par parties ?
La qualité de la rédaction compte autant que le résultat. Pour une intégrale définie, indique aussi l’intervalle sur lequel les fonctions sont dérivables.
- Repère le produit et demande-toi si une primitive directe existe.
- Choisis u et v′ : prends souvent le polynôme ou le logarithme comme u.
- Calcule u′ et une primitive v de v′.
- Recopie la formule d’IPP avant de remplacer les expressions.
- Simplifie l’intégrale restante, calcule les bornes puis conclus clairement.
La rédaction attendue est : « Posons u(x) =... et v′(x) =.... Alors u′(x) =... et v(x) =.... » L’exponentielle et les fonctions trigonométriques sont souvent choisies comme v′, car leurs primitives sont immédiates. Aucun automatisme ne dispense toutefois de contrôler le second terme.
Choisir u et v′ sans se tromper
Pour ∫ xeˣ dx, choisis u = x et v′ = eˣ. Alors u′ = 1 et v = eˣ, donc l’intégrale restante est ∫ eˣ dx, immédiate. Le choix inverse conserve xeˣ dans le second terme et ne simplifie rien. Pour xⁿeˣ ou xⁿ sin(x), plusieurs IPP successives peuvent être nécessaires.
Une bonne IPP fait diminuer la difficulté. Les fonctions polynomiales sont particulièrement favorables, car leur dérivée réduit leur degré. Le logarithme est également un bon candidat pour u. En revanche, évite de prendre une fonction comme u si sa dérivée devient plus compliquée ou si l’intégrale restante ressemble exactement à l’intégrale initiale.
À retenir
Une IPP transforme l’intégrale d’un produit. Le choix de u doit rendre sa dérivée plus simple. Le signe moins est indispensable dans la formule. Enfin, une primitive trouvée se vérifie toujours par dérivation.
Dans le dernier exercice, le défi bonus demande une seconde IPP. Cherche d’abord seul la relation entre les deux intégrales avant de lire la correction.
Exercices progressifs d’intégration par parties
Avant chaque calcul, écris ton choix de fonctions. Lorsqu’un polynôme multiplie une exponentielle ou une fonction trigonométrique, dérive généralement le polynôme. Avec ln(x), choisis souvent u(x) = ln(x) et v′(x) = 1.
Exercice 1 ⭐
Complète les blancs pour calculer ∫ xeˣ dx. Pose u(x) = ____ et v′(x) = ____. Donne u′(x), v(x), puis une primitive de xeˣ.
Exercice 2 ⭐
Calcule ∫₀¹ x cos(x) dx par IPP. Indique explicitement u, v′, puis évalue le terme entre crochets.
Exercice 3 ⭐
Entoure le bon choix pour calculer ∫ ln(x) dx sur ]0 ; +∞[ : A. u = ln(x), v′ = 1 ; B. u = 1, v′ = ln(x). Calcule ensuite une primitive.
Exercice 4 ⭐⭐
Rédige une IPP complète pour calculer ∫₁ᵉ ln(x) dx. Vérifie que les bornes appartiennent au domaine du logarithme.
Exercice 5 ⭐⭐
Transforme puis calcule ∫₀π x sin(x) dx. Explique en une phrase pourquoi le choix u = x est efficace.
Exercice 6 ⭐⭐
Vrai ou faux ? Justifie par un calcul : « Une primitive de x cos(x) est x sin(x). » Donne ensuite la primitive correcte.
Exercice 7 ⭐⭐⭐
Calcule I = ∫₀¹ x ln(x) dx par IPP. Utilise u(x) = ln(x) et v′(x) = x. Pour la borne 0, utilise lim x→0⁺ x²ln(x) = 0.
Exercice 8 ⭐⭐⭐
Calcule I = ∫₀π x² sin(x) dx par deux IPP successives. Défi bonus : déduis-en la valeur de J = ∫₀π x² cos(x) dx, sans développer une nouvelle méthode.
Correction
Exercice 1
u = x, v′ = eˣ, donc u′ = 1 et v = eˣ. Ainsi, ∫ xeˣ dx = xeˣ − ∫ eˣ dx = (x − 1)eˣ + C. La dérivée de ce résultat vaut bien xeˣ.
Exercice 2
Avec u = x, v′ = cos(x), on a u′ = 1, v = sin(x). Donc ∫₀¹ x cos(x) dx = [x sin(x)]₀¹ − ∫₀¹ sin(x) dx = sin(1) + cos(1) − 1. Les crochets ont été évalués aux deux bornes.
Exercice 3
La bonne réponse est A. u = ln(x), v′ = 1, donc u′ = 1/x, v = x. Ainsi, ∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx = x ln(x) − x + C. Le logarithme devient plus simple après dérivation.
Exercice 4
Sur [1 ; e], posons u(x) = ln(x) et v′(x) = 1. Alors u′(x) = 1/x et v(x) = x. Ainsi, ∫₁ᵉ ln(x) dx = [x ln(x)]₁ᵉ − ∫₁ᵉ 1 dx = e − (e − 1) = 1. Les bornes 1 et e sont strictement positives, donc le logarithme y est défini.
Exercice 5
∫₀π x sin(x) dx = [−x cos(x)]₀π + ∫₀π cos(x) dx = π. Le choix u = x est efficace car sa dérivée est égale à 1.
Exercice 6
Faux : (x sin(x))′ = sin(x) + x cos(x), donc un terme manque. Une primitive correcte est x sin(x) + cos(x) + C. En effet, la dérivée de cos(x) annule le terme sin(x).
Exercice 7
Pour ε ∈ ]0 ; 1[, I = lim ε→0⁺ ( [x²/2 ln(x)]ε¹ − 1/2 ∫ε¹ x dx ). Comme lim ε→0⁺ ε²ln(ε) = 0, on obtient I = −1/4.
Exercice 8
I = [−x² cos(x)]₀π + ∫₀π 2x cos(x) dx = π² + 2([x sin(x)]₀π − ∫₀π sin(x) dx) = π² − 4. Pour le bonus, J = [x² sin(x)]₀π − ∫₀π 2x sin(x) dx = −2π. La seconde IPP traite le produit restant.
Pour réussir une intégration par parties, repère d’abord le facteur qui se simplifie en le dérivant. Écris ensuite le choix de u et de v′ avant toute substitution dans la formule. Vérifie enfin les bornes et le signe devant la seconde intégrale. Imprime les exercices, rédige chaque étape et compare ton travail avec la correction.
Questions et réponses
Identifie un produit, puis choisis u dont la dérivée simplifie l’expression et v′ dont une primitive est connue. Calcule u′ et v, applique ∫ uv′ = uv − ∫ u′v, puis traite l’intégrale restante. Avec des bornes, évalue aussi le produit uv.
Comment calculer une intégrale ?
Commence par chercher une primitive usuelle. Par exemple, une primitive de eˣ est eˣ. Si l’expression est un produit sans primitive immédiate, une IPP peut aider. Pour une intégrale définie, calcule ensuite F(b) − F(a), où F est une primitive de la fonction.
Qu’est-ce qu’une intégrale ?
Une intégrale définie, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, associe un nombre à une fonction sur un intervalle. Elle se calcule souvent grâce à une primitive. Une intégrale sans bornes correspond à la recherche de toutes les primitives possibles : on ajoute alors une constante C.
Quand faut-il utiliser une intégration par parties ?
Utilise une IPP lorsqu’une intégrale contient un produit et qu’un facteur se simplifie en étant dérivé. C’est fréquent avec un polynôme multiplié par une exponentielle, un sinus ou un cosinus. Elle est aussi adaptée à ln(x), vu comme le produit ln(x) · 1.
Comment lit-on une intégrale ?
∫ₐᵇ f(x) dx se lit « intégrale de f entre a et b ». Les lettres a et b sont les bornes. La lettre x désigne la variable d’intégration, et dx rappelle que l’on intègre par rapport à cette variable.
Comment calculer une primitive après une intégration par parties ?
Après avoir appliqué la formule, calcule l’intégrale restante avec une primitive usuelle. Réunis ensuite tous les termes et ajoute C si aucune borne n’est donnée. Termine par une dérivation du résultat : elle permet de vérifier le signe moins et les calculs intermédiaires.
Dernière révision : septembre 2026
À propos de l'auteur
Camille Lefèvre, Rédactrice spécialisée en Français
Camille Lefèvre rédige les fiches de méthode et les exercices corrigés de la rubrique Français, pour les classes de lycée.
