Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est nul ou lorsque l'un s'obtient en multipliant l'autre par un réel k. Ils ont alors la même direction. Avec les coordonnées, xy' - x'y = 0 signifie que les vecteurs sont colinéaires.
Pourquoi vecu(2 ; 3) et vecv(4 ; 6) vont-ils dans la même direction alors que vecw(4 ; 5) n'y va pas ? Cette fiche donne le bon réflexe, le cas du vecteur nul, celui des sens opposés, puis le lien avec l'alignement. Imprime-la et complète les exercices.
Que veut dire « colinéaires » pour deux vecteurs ?
Prénom : ________ Date : ________
Objectif : « Je sais dire si deux vecteurs sont colinéaires, par le calcul et sur une figure. »
Trois acquis suffisent : lire les coordonnées d'un vecteur, calculer celles de overrightarrowAB et savoir ce qu'est une droite parallèle à une autre. La définition tient en une ligne : deux vecteurs vecu et vecv sont colinéaires quand l'un est nul ou quand il existe un réel k tel que vecv = kvecu. Le mot veut dire « sur une même ligne ». Si k > 0, le sens est identique. Si k < 0, les sens sont opposés. Deux vecteurs égaux sont donc colinéaires, avec k = 1.
Le vecteur nul déroute souvent. Il est colinéaire à tout vecteur, puisque vec0 = 0 × vecv. L'inverse échoue : impossible d'écrire vecv = kvec0 si vecv n'est pas nul. D'où la précision « ou l'un est nul ». Pour visualiser, trace sur un quadrillage un vecteur vecu de 2 carreaux vers la droite et 1 vers le haut, puis 2vecu, puis -vecu. Les trois sont colinéaires, même si le dernier pointe dans l'autre sens.
Comment tester la colinéarité avec les coordonnées, étape par étape
Pour vecu(x ; y) et vecv(x' ; y'), calcule xy' - x'y. Si le résultat vaut 0, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas. Ce nombre est le déterminant des deux vecteurs. Il évite de chercher un réel k.
- Écris les coordonnées de chaque vecteur. Si l'énoncé donne des points, calcule-les avec x_(B) - x_(A) et y_(B) - y_(A).
- Calcule x × y' = dotsdots puis x' × y = dotsdots
- Soustrais les deux résultats : xy' - x'y = dotsdots
- Conclus : 0 signifie colinéaires, un nombre non nul signifie non colinéaires.
Erreur fréquente : écrire xx' - yy' au lieu de xy' - x'y. Avec vecu(4 ;2) et vecv(1 ;2), la mauvaise formule donne 4 - 4 = 0 et laisse croire à une colinéarité. Le bon calcul donne 4 × 2 - 1 × 2 = 6 : les vecteurs ne sont pas colinéaires. Autre piège, les signes. Dans 4 × 3 - (-2) × (-6), le produit (-2) × (-6) vaut +12. Garde les parenthèses.
Bonus méthode : avec des nombres simples, cherche k de tête. Pour vecu(5 ;-10) et vecv(1 ;-2), on a vecu = 5vecv. Le même k doit convenir aux deux coordonnées. Le déterminant reste plus sûr avec des fractions ou des nombres négatifs.
Exemples résolus : colinéarité, alignement et parallélisme
Trois points A, B, C sont alignés si overrightarrowAB et overrightarrowAC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si overrightarrowAB et overrightarrowCD sont colinéaires. Dans les deux cas, on calcule les coordonnées, puis le déterminant.
Premier exemple, avec vecu(2 ;3) et vecv(6 ;9) : 2 × 9 - 6 × 3 = 18 - 18 = 0. Les vecteurs sont colinéaires et vecv = 3vecu. Deuxième exemple, avec vecu(4 ;-6) et vecv(-2 ;3) : 4 × 3 - (-2) × (-6) = 12 - 12 = 0. Ils sont colinéaires, et vecv = -1/2vecu.
Le déterminant nul prouve la colinéarité, mais seul le signe de k renseigne sur le sens : ici k est négatif, donc les sens sont opposés. Dernier exemple, avec A(1 ;2), B(3 ;6) et C(4 ;8). On trouve overrightarrowAB(2 ;4) et overrightarrowAC(3 ;6), puis 2 × 6 - 3 × 4 = 12 - 12 = 0 : les points sont alignés. Les deux vecteurs partent de A, ce qui garantit une seule droite. Pour deux droites (AB) et (CD), la colinéarité donne des droites parallèles, parfois confondues.
Huit exercices progressifs pour t'entraîner
Une étoile pour l'application directe, trois pour le raisonnement. Écris tes calculs en entier avant de regarder la correction.
Exercice 1 (niveau 1)
Complète. Soit vecu(1 ;4) et vecv(3 ;12). On a vecv = ___ vecu, donc les vecteurs sont ____.
Exercice 2 (niveau 1)
Calcule xy' - x'y pour vecu(2 ;3) et vecv(3 ;2), puis conclus.
Exercice 3 (niveau 1)
Vrai ou faux ? Justifie. a) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. b) Les vecteurs vecu(2 ;-1) et vecv(-4 ;2) sont colinéaires et de même sens.
Exercice 4 (niveau 2)
Entoure les couples de vecteurs colinéaires : a) (1 ;2) et (3 ;6) ; b) (2 ;-3) et (4 ;6) ; c) (-3 ;6) et (1 ;-2).
Exercice 5 (niveau 2)
Transforme. Soit vecu(3 ;-2) et vecv(-9 ; y) colinéaire à vecu. Calcule y, puis donne le réel k tel que vecv = kvecu.
Exercice 6 (niveau 2)
Détermine le paramètre m pour que vecu(2 ; m) et vecv(6 ;-9) soient colinéaires.
Exercice 7 (niveau 3)
Rédige. Soit A(-2 ;1), B(1 ;4) et C(x ;7). Trouve x pour que A, B, C soient alignés.
Exercice 8 (niveau 3)
Soit A(0 ;1), B(2 ;5), C(1 ;-1) et D(4 ;5). Montre que (AB) et (CD) sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ? Justifie.
Correction
Exercice 1. 3 × 1 = 3 et 3 × 4 = 12, donc vecv = 3vecu : les vecteurs sont colinéaires.
Exercice 2. 2 × 2 - 3 × 3 = 4 - 9 = -5. Le résultat est non nul, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. La mauvaise formule donnerait 6 - 6 = 0 : c'est le piège.
Exercice 3. a) Vrai, car vec0 = 0 × vecv. b) Faux : 2 × 2 - (-4) × (-1) = 4 - 4 = 0, ils sont colinéaires, mais vecv = -2vecu, donc de sens opposés.
Exercice 4. a) On a 1 × 6 = 6 et 3 × 2 = 6, donc le déterminant vaut 6 - 6 = 0 : colinéaires. b) On a 2 × 6 = 12 et 4 × (-3) = -12, donc le déterminant vaut 12 + 12 = 24 : non. c) On a (-3) × (-2) = 6 et 1 × 6 = 6, donc le déterminant vaut 6 - 6 = 0 : colinéaires. On entoure a et c.
Exercice 5. 3y - (-9) × (-2) = 3y - 18 = 0, donc y = 6. Alors vecv(-9 ;6) = -3vecu et k = -3.
Exercice 6. 2 × (-9) - 6m = -18 - 6m = 0, donc m = -3. Vérification : vecv = 3vecu et 3 × (-3) = -9.
Exercice 7. overrightarrowAB(3 ;3) et overrightarrowAC(x+2 ;6). La condition 3 × 6 - 3(x+2) = 12 - 3x = 0 donne x = 4. Vérification : overrightarrowAC(6 ;6) = 2overrightarrowAB.
Exercice 8. overrightarrowAB(2 ;4) et overrightarrowCD(3 ;6), avec 2 × 6 - 3 × 4 = 12 - 12 = 0 : (AB) et (CD) sont parallèles. Mais overrightarrowAD(4 ;4) et overrightarrowBC(-1 ;-6) donnent 4 × (-6) - (-1) × 4 = -24 + 4 = -20, non nul. Donc (AD) et (BC) ne sont pas parallèles et ABCD n'est pas un parallélogramme. Ses côtés [AD] et [BC] se coupent : le quadrilatère est croisé.
Retiens ce réflexe : pour tester la colinéarité, calcule xy' - x'y et compare à zéro. La même idée prouve que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.
On répond à vos questions
Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?
Calcule le déterminant xy' - x'y à partir des coordonnées. Un résultat nul signifie colinéaires, un résultat non nul signifie non colinéaires. Sur une figure, regarde si les vecteurs sont portés par des droites parallèles ou par la même droite.
Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?
Rédige en trois temps : les coordonnées de chaque vecteur, le calcul du déterminant, puis la conclusion « le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires ». Tu peux aussi exhiber un réel k tel que vecv = kvecu, par exemple vecv = 3vecu.
Quand deux vecteurs sont-ils colinéaires ?
Quand ils ont la même direction : l'un est nul, ou l'un s'obtient en multipliant l'autre par un réel k. Le sens est identique si k > 0, opposé si k < 0. Des longueurs très différentes ne changent rien.
Deux vecteurs égaux sont-ils colinéaires ?
Oui, avec k = 1. Deux vecteurs opposés sont eux aussi colinéaires, avec k = -1.
Comment dessiner deux vecteurs colinéaires ?
Sur un quadrillage, trace un premier vecteur, par exemple 2 carreaux vers la droite et 1 vers le haut. Le second suit la même pente : 4 à droite et 2 vers le haut pour le double, 2 à gauche et 1 vers le bas pour l'opposé. Les origines sont libres.
Comment montrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires ?
Calcule le déterminant. S'il est différent de 0, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Par exemple, 2 × 2 - 3 × 3 = -5 ≠ 0 pour (2 ;3) et (3 ;2). N'utilise jamais xx' - yy', qui ne teste pas la colinéarité.
Dernière actualisation : novembre 2026
À propos de l'auteur
Camille Lefèvre, Rédactrice spécialisée en Français
Camille Lefèvre rédige les fiches de méthode et les exercices corrigés de la rubrique Français, pour les classes de lycée.
