La norme d'un vecteur est sa longueur. Dans un repère orthonormé, pour un vecteur u⃗(x ; y), on calcule |u⃗| = √(x² + y²). Le résultat est toujours positif ou nul, et il vaut zéro seulement pour le vecteur nul.
Un vecteur de coordonnées (3 ; −4) a une norme de 5, et non de −1 ni de 7 : c'est le piège que beaucoup d'élèves rencontrent en additionnant ou en soustrayant les coordonnées au lieu de les élever au carré. Dans le chapitre Produit scalaire de deux vecteurs, cette longueur sert partout, car u⃗·u⃗=|u⃗|². Tu trouves ici le cours, une méthode en étapes, des erreurs à éviter et des exercices corrigés.
La norme d'un vecteur est sa longueur : définition et formule dans un repère orthonormé
Objectif de la leçon : pouvoir dire « je sais calculer la norme d'un vecteur à partir de ses coordonnées ». Trois prérequis suffisent. Tu dois lire les coordonnées d'un vecteur, connaître le théorème de Pythagore et savoir simplifier une racine carrée. Le reste se construit en quelques lignes.
La norme du vecteur u⃗, notée |u⃗|, est sa longueur. Si u⃗=AB⃗, c'est la longueur du segment [AB], donc AB=|AB⃗|.
Dans un repère orthonormé, pour u⃗(x ; y), la formule de la norme s'écrit |u⃗|=√(x²+y²). Elle vient d'un triangle rectangle : le vecteur se décompose en un déplacement horizontal de longueur |x| et un déplacement vertical de longueur |y|, côtés de l'angle droit. Pythagore donne le carré de l'hypoténuse : x²+y². Le repère doit être orthonormé, c'est-à-dire des axes perpendiculaires avec la même unité sur chacun, sinon les longueurs sont faussées. Une norme est une grandeur positive ou nulle, et seul le vecteur nul a une norme égale à 0. Cette notion ouvre le chapitre Produit scalaire de deux vecteurs, où elle sert à mesurer des longueurs par le calcul.
Méthode pas à pas pour calculer une norme à partir des coordonnées ou de deux points
Que tu partes d'un vecteur ou de deux points, la méthode tient en quatre gestes.
- Écris les coordonnées du vecteur. Avec deux points, calcule (xB−xA ; yB−yA) : arrivée moins départ.
- Élève chaque coordonnée au carré.
- Additionne les deux carrés.
- Prends la racine carrée, puis simplifie si c'est possible.
Premier exemple, avec u⃗(3 ; 4) : |u⃗|=√(9+16)=√25=5. Second exemple, avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6) : les coordonnées de AB⃗ sont (4−1 ; 6−2)=(3 ; 4), donc AB=5. Les deux vecteurs sont identiques, la longueur aussi.
Une coordonnée négative ne change rien, puisque le carré l'efface. Pour v⃗(2 ; −3), on obtient |v⃗|=√(4+9)=√13. Comme 13 n'est pas un carré parfait, on garde la valeur exacte √13. Une écriture décimale (environ 3,6) sert seulement à contrôler l'ordre de grandeur, sauf si l'énoncé la demande. Avec √12, en revanche, simplifie en 2√3.
Norme et produit scalaire : pourquoi u⃗·u⃗=|u⃗|²
Pourquoi un produit scalaire apparaît-il dès qu'on parle de longueur ? Parce qu'un vecteur multiplié scalairement par lui-même donne son carré de la norme. Avec u⃗(x ; y) dans un repère orthonormé, u⃗·u⃗=x×x+y×y=x²+y²=|u⃗|². Cette égalité entraîne l'identité |u⃗+v⃗|²=|u⃗|²+2 u⃗·v⃗+|v⃗|², version vectorielle de (a+b)².
Vérifions-la avec u⃗(1 ; 2) et v⃗(3 ; −1). Le produit scalaire vaut 1×3+2×(−1)=1, avec |u⃗|²=5 et |v⃗|²=10. La somme u⃗+v⃗ a pour coordonnées (4 ; 1), donc |u⃗+v⃗|²=16+1=17, soit bien 5+2×1+10. Les deux chemins se rejoignent.
L'égalité est précieuse quand on connaît des longueurs et un produit scalaire, mais aucune coordonnée. C'est le cas d'un triangle où l'on donne AB, AC et AB⃗·AC⃗ : on en déduit BC avec BC⃗=AC⃗−AB⃗. Quand les coordonnées sont données, la formule directe va plus vite et expose à moins d'erreurs.
Quatre erreurs de calcul qui font perdre des points sur une norme
Erreurs fréquentes. Première faute : s'arrêter avant la racine. Écrire |u⃗|=25 pour u⃗(3 ; 4) donne le carré de la longueur ; la bonne réponse est 5. Deuxième faute : inverser les points. Avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6), partir de A moins B donne (−3 ; −4). La norme reste 5, mais le vecteur opposé fausse ensuite tout produit scalaire.
Troisième faute : lire (−3)² comme −9. Un carré n'est jamais négatif, donc une somme de carrés non plus. Quatrième faute : écrire √(x²+y²)=x+y. Avec (3 ; 4), on trouverait 7 au lieu de 5, car la racine d'une somme n'est pas la somme des racines. Un contrôle rapide : la norme est au moins égale à chaque |x| et |y|, et au plus égale à |x|+|y|. Enfin, vérifie l'orthonormalité du repère avant d'appliquer la formule.
Huit exercices corrigés sur la norme d'un vecteur, du plus simple au plus difficile
Fais les exercices dans l'ordre, des plus faciles (une étoile) aux plus difficiles (trois étoiles). Écris chaque carré, chaque somme et la racine, puis compare avec la correction. Cherche d'abord seul : le corrigé sert à vérifier ta méthode.
Prénom : ______ Date : ______
Exercice 1 1/3
Calcule la norme de u⃗(3 ; 4). |u⃗|=√(…)= ______
Exercice 2 1/3
Calcule la norme de v⃗(−5 ; 12). |v⃗|=√(…)= ______
Exercice 3 1/3
Calcule la norme de w⃗(0 ; −7). |w⃗|= ______
Exercice 4 2/3
Soit A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Donne les coordonnées de AB⃗ ______, puis la longueur AB= ______
Exercice 5 2/3
Calcule la norme de t⃗(√3 ; 1). |t⃗|= ______
Exercice 6 2/3
Soit A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 8). Calcule AB, AC, BC, puis le périmètre. AB= ______ AC= ______ BC= ______ Périmètre : ______
Exercice 7 3/3
Trouve tous les réels x tels que |(x ; 3)|=5. Écris l'équation en x² ______, puis conclus : ______
Exercice 8 3/3
Avec u⃗(1 ; 2) et v⃗(3 ; −1), calcule |u⃗+v⃗|² de deux façons : avec les coordonnées de la somme ______, puis avec l'identité du produit scalaire ______
Défi bonus : trouve un vecteur de norme 1 qui a la même direction que u⃗(3 ; 4).
Correction
Exercice 1 : 5. On a 9+16=25 et √25=5.
Exercice 2 : 13. On a 25+144=169 et √169=13.
Exercice 3 : 7. Comme 0+49=49, la norme est positive malgré la coordonnée négative.
Exercice 4 : AB⃗(3 ; 4) et AB=5. On soustrait les coordonnées de A à celles de B, puis √(9+16)=5.
Exercice 5 : 2. Le carré de √3 vaut 3, donc √(3+1)=√4=2.
Exercice 6 : AB=6, AC=8, BC=10, périmètre 24. Pour BC⃗(−6 ; 8), on a √(36+64)=10.
Exercice 7 : x=4 ou x=−4. L'équation x²+9=25 donne x²=16, et deux nombres ont pour carré 16.
Exercice 8 : 17. Avec u⃗+v⃗(4 ; 1), on a 16+1=17, et l'identité donne 5+2×1+10=17.
Défi bonus : (3/5 ; 4/5). On divise chaque coordonnée par la norme 5, et 9/25+16/25=1.
Retiens la formule |u⃗| = √(x² + y²), vérifie toujours que le repère est orthonormé, et garde en tête que u⃗·u⃗=|u⃗|². Imprime la fiche, traite les huit exercices sans regarder la correction, puis compare tes réponses une par une. Télécharge le PDF pour t'entraîner hors ligne avant ton prochain contrôle.
Contenu vérifié en octobre 2026
À propos de l'auteur
Camille Lefèvre, Rédactrice spécialisée en Français
Camille Lefèvre rédige les fiches de méthode et les exercices corrigés de la rubrique Français, pour les classes de lycée.
