La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite qui épouse la courbe en ce point. Son coefficient directeur est le nombre dérivé f'(a), et son équation est y = f'(a)(x − a) + f(a).
Pourquoi perdre des points alors que la formule tient en une ligne ? Souvent, un signe oublié dans (x − a) ou une confusion entre f(a) et f'(a).
Lire le nombre dérivé sur la tangente à une courbe
Prénom : ______ Date : ______
Objectif : je sais lire f'(a) sur un graphique et écrire l'équation d'une tangente.
Lire f'(a), c'est mesurer la pente de la tangente : plus elle est raide, plus sa valeur absolue est grande. Le taux d'accroissement (f(a+h) − f(a))/h est la pente de la sécante entre deux points de la courbe : quand h tend vers 0, elle se rapproche de la tangente. Sur un graphique, prends deux points éloignés de la tangente, à coordonnées entières, et divise la variation de y par celle de x. Prérequis : équation réduite d'une droite, calcul d'une image.
Nombre dérivé. Si f est dérivable en a, f'(a) est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0. La tangente passe par le point d'abscisse a de la courbe, avec f'(a) pour coefficient directeur.
Écrire l'équation de la tangente en un point, étape par étape
Une seule formule gouverne le chapitre : y = f'(a)(x − a) + f(a). Cette forme point-pente traduit que la tangente passe par (a ; f(a)) avec la pente f'(a). Cinq gestes, dans l'ordre.
- Repère la fonction f et la valeur de a.
- Calcule f(a) : c'est l'ordonnée du point de tangence.
- Dérive f, puis calcule f'(a) : c'est la pente.
- Remplace dans y = f'(a)(x − a) + f(a), avec des parenthèses autour de x − a.
- Développe pour obtenir y = mx + p, puis vérifie.
Exemple 1 : f(x) = x² − 3x + 1 en a = 2. On a f(2) = −1, donc le point (2 ; −1). Comme f'(x) = 2x − 3, f'(2) = 1. Alors y = 1 × (x − 2) + (−1), soit y = x − 3.
Exemple 2 : g(x) = x³ en a = 1. On a g(1) = 1 et g'(1) = 3. Alors y = 3(x − 1) + 1, soit y = 3x − 2.
Test de contrôle : remplace x par a dans ton équation et compare avec f(a). Exemple 1 : 2 − 3 = −1 = f(2). Exemple 2 : 3 × 1 − 2 = 1 = g(1). Nuance : la tangente ne reste pas toujours d'un seul côté de la courbe ; pour x³ en 0, la tangente y = 0 la traverse.
Tangente horizontale, verticale ou impossible à tracer
Quand f'(a) = 0, la tangente est horizontale : y = f(a). Pour f(x) = x² − 4x + 3, f'(x) = 2x − 4 s'annule en x = 2 ; comme f(2) = −1, la tangente est y = −1. Tangente verticale : le taux d'accroissement grandit sans limite. Pour la racine carrée en 0, il vaut √h / h = 1/√h, qui explose : la fonction n'est pas dérivable en 0, mais la courbe admet la droite x = 0 pour tangente. Au point anguleux de la valeur absolue en 0, le taux vaut 1 à droite et −1 à gauche : deux pentes, donc aucune tangente unique.
Erreurs fréquentes. Confondre f(a), une ordonnée, et f'(a), une pente. Se tromper de signe dans (x − a) : pour a = −2, écris (x + 2). Oublier d'ajouter f(a) : la droite ne passe plus par le point de la courbe.
Huit exercices progressifs sur la dérivée et la tangente
Lis f'(a) sur un graphique, calcule des équations de tangente, cherche les tangentes horizontales, puis traite les tangentes issues d'un point extérieur à la courbe. Le niveau (de 1 à 3) indique la difficulté. Applique le test de contrôle à chaque équation.
Exercice 1 (niveau 1)
La tangente T à la courbe de f en A d'abscisse 1 passe par A(1 ; 3) et B(3 ; 7). Complète : f(1) = ____. Entoure f'(1) : −2 ; 0,5 ; 2 ; 4.
Exercice 2 (niveau 1)
Soit f(x) = x² + 2x et a = 1. Complète : f(1) = ____ ; f'(x) = ____ ; f'(1) = ____.
Exercice 3 (niveau 1)
Soit f(x) = x² − 2x + 3. Calcule f(2) et f'(2), écris la tangente en a = 2 sous la forme y = f'(2)(x − 2) + f(2), puis donne son équation réduite.
Exercice 4 (niveau 2)
Soit f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[, avec f'(x) = −1/x². Détermine l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 2.
Exercice 5 (niveau 2)
Soit f(x) = x³ − 3x. Résous f'(x) = 0, puis donne les équations des tangentes horizontales.
Exercice 6 (niveau 2)
Vrai ou faux ? Corrige les affirmations fausses. a) Si f'(3) = 0, la tangente en 3 a pour équation y = f(3). b) La tangente à f(x) = x² en a = 0 a pour équation y = x. c) La droite y = 2x + 1 est la tangente à f(x) = x² en a = 1.
Exercice 7 (niveau 3)
Soit f(x) = x² − 4x + 5. Un point de la courbe a une tangente parallèle à la droite y = 2x + 1. Détermine son abscisse, puis l'équation de cette tangente.
Exercice 8 (niveau 3)
Soit f(x) = x² et P(1 ; −3), qui n'appartient pas à la courbe. 1) Écris la tangente au point d'abscisse a. 2) Exprime que P appartient à cette tangente et résous l'équation d'inconnue a. 3) Donne les tangentes passant par P.
Correction
Exercice 1 : f(1) = 3 et f'(1) = 2, car (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 2.
Exercice 2 : f(1) = 3 ; f'(x) = 2x + 2 ; f'(1) = 4.
Exercice 3 : f(2) = 3 ; f'(x) = 2x − 2, donc f'(2) = 2. La tangente est y = 2(x − 2) + 3, soit y = 2x − 1. Contrôle : en x = 2, on retrouve 3.
Exercice 4 : f(2) = 1/2 et f'(2) = −1/4. Alors y = −(1/4)(x − 2) + 1/2, soit y = −(1/4)x + 1.
Exercice 5 : f'(x) = 3x² − 3 = 0 donne x = 1 ou x = −1. Comme f(1) = −2 et f(−1) = 2, les tangentes horizontales sont y = −2 et y = 2.
Exercice 6 : a) Vrai : pente nulle, droite horizontale passant par le point de la courbe. b) Faux : f'(0) = 0, la tangente est y = 0. c) Faux : f(1) = 1 et f'(1) = 2 donnent y = 2x − 1 ; la droite proposée vaut 3 en x = 1.
Exercice 7 : f'(x) = 2x − 4 = 2 donne x = 3. Comme f(3) = 2, la tangente est y = 2(x − 3) + 2, soit y = 2x − 4.
Exercice 8 : 1) f'(x) = 2x, donc la tangente en a est y = 2a(x − a) + a² = 2ax − a². 2) P(1 ; −3) donne −3 = 2a − a², soit a² − 2a − 3 = 0, ou (a − 3)(a + 1) = 0, donc a = 3 ou a = −1.3) Les tangentes sont y = 6x − 9 et y = −2x − 1. Contrôle : en x = 1, les deux valent −3.
Retiens la formule y = f'(a)(x − a) + f(a) et le test de contrôle. Fais les exercices sans regarder la correction, puis compare.
Quelle est l'équation de la tangente à une courbe en un point ?
Pour f dérivable en a, c'est y = f'(a)(x − a) + f(a). La droite passe par (a ; f(a)) et sa pente est f'(a). Développe ensuite pour obtenir y = mx + p.
Comment trouver la tangente en un point ?
Calcule f(a), dérive f, calcule f'(a), puis remplace dans la formule et développe. Contrôle : en x = a, l'équation doit donner f(a).
Quelle est la dérivée de la fonction tangente ?
La fonction trigonométrique tan se dérive en tan'(x) = 1 + tan²(x) = 1/cos²(x), là où cos(x) ne s'annule pas. Ce résultat n'a rien à voir avec la tangente géométrique d'une courbe.
Quand la tangente est-elle verticale ?
Quand le taux d'accroissement tend vers l'infini en a. La fonction n'est alors pas dérivable en a, mais la courbe admet la droite x = a pour tangente, comme la racine carrée en 0.
Quelle est la formule de la dérivée ?
Le nombre dérivé en a est la limite, quand h tend vers 0, de (f(a+h) − f(a))/h. En pratique, on utilise les dérivées usuelles : (x²)' = 2x, (x³)' = 3x², (1/x)' = −1/x² et (√x)' = 1/(2√x) pour x strictement positif.
Qu'est-ce que le coefficient directeur d'une tangente ?
C'est sa pente, soit la variation de y quand x augmente de 1. En a, il vaut f'(a). Sur un graphique, calcule (y_B − y_A)/(x_B − x_A) avec deux points A et B éloignés de la tangente.
À propos de l'auteur
Camille Lefèvre, Rédactrice spécialisée en Français
Camille Lefèvre rédige les fiches de méthode et les exercices corrigés de la rubrique Français, pour les classes de lycée.
