Le discriminant d'un trinôme ax² + bx + c, avec a différent de 0, est le nombre Δ = b² − 4ac. Son signe donne le nombre de solutions réelles : deux si Δ est positif, une s'il est nul, aucune s'il est négatif.
Pourquoi trouve-t-on parfois un discriminant négatif alors que l'équation a des solutions ? Presque toujours à cause d'un signe perdu dans b² : avec b = −3, (−3)² = 9, pas −9. Ce cours de Première apprend à calculer Δ, lire son signe et trouver x1 et x2, avec exercices corrigés.
Qu'est-ce que le discriminant d'un trinôme du second degré ?
Prénom : ______ Date : ______
Trois prérequis suffisent : repérer les coefficients a, b et c, calculer avec des nombres négatifs, développer une identité remarquable.
Un trinôme du second degré s'écrit ax² + bx + c, avec a différent de 0. Son discriminant, noté Δ (delta), vaut Δ = b² − 4ac. Une racine du trinôme est une solution réelle de l'équation ax² + bx + c = 0.
Le « discriminant d'une fonction » désigne celui du trinôme associé. Son signe dit si la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, en un point ou en aucun. Le calcul donne le nombre des solutions, pas leur valeur.
Comment utiliser delta pour trouver x1 et x2 selon son signe
Tout se joue sur le signe de Δ.
- Identifie a, b et c en gardant leurs signes.
- Calcule Δ = b² − 4ac, avec des parenthèses autour de b.
- Regarde le signe de Δ.
- Écris les solutions, puis vérifie-les en les remplaçant dans l'équation.
| Signe de Δ | Nombre de solutions réelles | Solutions | Position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 | x1 = (−b − √Δ)/(2a) et x2 = (−b + √Δ)/(2a) | Elle coupe l'axe en deux points |
| Δ = 0 | 1 | x = −b/(2a) | Elle touche l'axe en un point, son sommet |
| Δ < 0 | 0 | Aucune | Elle reste d'un seul côté de l'axe |
Quand Δ est nul, x1 rejoint x2 : c'est une solution double. Quand Δ est négatif, √Δ n'existe pas dans les réels.
Erreur fréquente : pour b = −3, écrire −3² donne −9, alors que (−3)² = 9. Ce faux signe modifie Δ, donc toute la conclusion.
Trois exemples résolus, du delta positif au delta négatif
Dans x² − 5x + 6 = 0, on lit a = 1, b = −5 et c = 6. Ici 4ac = 24, donc Δ = (−5)² − 24 = 1. Delta est positif : x1 = (5 − 1)/2 = 2 et x2 = (5 + 1)/2 = 3. La vérification par substitution confirme : le trinôme s'annule pour 2 comme pour 3.
Pour x² − 6x + 9 = 0, on a a = 1, b = −6 et c = 9. Ici 4ac = 36, donc Δ = (−6)² − 36 = 0. La solution est unique : x = 6/2 = 3. Le trinôme vaut (x − 3)², et la parabole touche l'axe au point (3 ; 0).
Pour x² + 2x + 5 = 0, on a a = 1, b = 2 et c = 5. Ici 4ac = 20, donc Δ = 2² − 20 = −16. Delta est négatif : aucune solution réelle. Le sommet de la parabole est en (−1 ; 4), au-dessus de l'axe.
Huit exercices pour t'entraîner, du plus simple au défi
Écris chaque calcul en entier : une ligne sautée cache presque toujours une erreur de signe. Les étoiles mesurent la difficulté, jusqu'à un problème avec paramètre.
Exercice 1 (niveau 1)
Pour l'équation 3x² − 5x + 2 = 0, complète : a = ____, b = ____, c = ____. Puis Δ = (____)² − 4ac = ____.
Exercice 2 (niveau 1)
Calcule le discriminant de chaque équation et donne son nombre de solutions réelles : (a) x² + 4x + 4 = 0 ; (b) x² + x + 1 = 0 ; (c) x² − x − 6 = 0.
Exercice 3 (niveau 1)
Entoure le calcul correct de Δ pour x² − 3x + 1 = 0. A : Δ = −9 − 4 = −13. B : Δ = 9 − 4 = 5. Conclus ensuite sur le nombre de solutions.
Exercice 4 (niveau 2)
Résous 2x² − 7x + 3 = 0, puis vérifie l'une des solutions par substitution.
Exercice 5 (niveau 2)
Transforme 2x² = 5x + 3 en équation de la forme ax² + bx + c = 0, puis résous-la.
Exercice 6 (niveau 2)
Un rectangle a un périmètre de 20 cm et une aire de 24 cm². Note x sa longueur : la largeur vaut alors 10 − x. Rédige l'équation, résous-la, puis donne les dimensions.
Exercice 7 (niveau 3)
Pour quelles valeurs de m l'équation x² + mx + 9 = 0 a-t-elle une seule solution ? Donne alors cette solution.
Exercice 8 (niveau 3)
Vrai ou faux ? « Si a et c sont de signes contraires, l'équation ax² + bx + c = 0 a toujours deux solutions réelles. » Justifie avec Δ.
Correction
- Exercice 1 : a = 3, b = −5, c = 2. Ici 4ac = 24, donc Δ = 25 − 24 = 1. Les parenthèses protègent le signe de b.
- Exercice 2 : (a) Δ = 16 − 16 = 0, une solution. (b) Δ = 1 − 4 = −3, aucune solution. (c) Δ = 1 + 24 = 25, deux solutions.
- Exercice 3 : la réponse B est correcte, car (−3)² = 9 et non −9. Δ = 5 est positif : deux solutions.
- Exercice 4 : Δ = 49 − 24 = 25, donc x1 = (7 − 5)/4 = 1/2 et x2 = (7 + 5)/4 = 3. Vérification pour x = 3 : 18 − 21 + 3 = 0.
- Exercice 5 : on obtient 2x² − 5x − 3 = 0. Δ = 25 + 24 = 49, x1 = (5 − 7)/4 = −1/2 et x2 = (5 + 7)/4 = 3. Comme c est négatif, −4ac s'ajoute à b².
- Exercice 6 : x(10 − x) = 24 donne x² − 10x + 24 = 0. Δ = 100 − 96 = 4, donc x = 4 ou x = 6. Le rectangle mesure 6 cm sur 4 cm ; les deux solutions décrivent le même rectangle.
- Exercice 7 : Δ = m² − 36, nul pour m = 6 ou m = −6. Pour m = 6, la solution est x = −3 ; pour m = −6, c'est x = 3.
- Exercice 8 : vrai. Si ac < 0, alors −4ac > 0, et b² ≥ 0. Donc Δ = b² − 4ac > 0, quelle que soit la valeur de b.
Retiens la routine : repère a, b et c, calcule Δ avec b entre parenthèses, puis lis son signe. Fais les exercices sans regarder la correction. L'exercice avec le paramètre m est le meilleur test de ta maîtrise.
Qu'est-ce que le discriminant d'une équation du second degré ?
C'est le nombre Δ = b² − 4ac, calculé avec les coefficients de ax² + bx + c = 0, où a est non nul. Il donne le nombre de solutions : deux si Δ est positif, une s'il est nul, aucune s'il est négatif.
C'est quoi le discriminant d'une fonction ?
C'est celui du trinôme ax² + bx + c qui définit la fonction. Son signe indique combien de points la courbe partage avec l'axe des abscisses : deux, un ou aucun.
Pourquoi calculer le discriminant ?
Un seul calcul indique si l'équation a des solutions réelles et combien, avant toute résolution. Il fournit aussi les formules de x1 et x2, et sert dans les problèmes à paramètre.
Comment trouver x1 et x2 avec delta ?
Calcule Δ, puis, s'il est strictement positif, applique x1 = (−b − √Δ)/(2a) et x2 = (−b + √Δ)/(2a). Pour x² − 5x + 6 = 0, Δ vaut 1, donc x1 = 2 et x2 = 3. Vérifie en remplaçant chaque valeur dans l'équation.
Que se passe-t-il quand delta est égal à zéro ?
La racine carrée de Δ vaut 0, donc les deux formules donnent le même nombre : une solution unique, x = −b/(2a), dite double. La parabole touche l'axe en un seul point. Exemple : x² − 6x + 9 = 0 donne x = 3.
Que signifie un discriminant négatif ?
Aucun réel n'a un carré négatif, donc √Δ n'existe pas dans les réels. L'équation n'a pas de solution réelle et la parabole ne rencontre pas l'axe. Pour x² + 2x + 5 = 0, Δ vaut −16 : l'ensemble des solutions est vide.
À propos de l'auteur
Camille Lefèvre, Rédactrice spécialisée en Français
Camille Lefèvre rédige les fiches de méthode et les exercices corrigés de la rubrique Français, pour les classes de lycée.
