Comment reconnaître une parabole en maths et retrouver son équation

En Première, une parabole est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré f(x)=ax²+bx+c avec a≠ 0. Elle a une forme de U, un axe de symétrie et un sommet. Le signe de a donne l'orientation : branches vers le haut si a>0, vers le bas si a<0.

Trois points suffisent pour fixer une parabole, mais celui d'abscisse 0 t'épargne la moitié des calculs : tu lis c directement et le système se réduit à deux équations. Tu vas repérer ce raccourci, situer le sommet sans confondre abscisse et ordonnée, puis t'entraîner sur huit exercices corrigés.

Une parabole en maths : définition, équation et vocabulaire

Prénom : ______ Date : ______

Objectif : reconnaître une parabole, lire son sommet et retrouver son équation.

Dans le chapitre « Fonction polynôme du second degré et parabole », une parabole est la courbe représentative d'une fonction f(x)=ax²+bx+c avec a≠ 0. Ses deux branches sont symétriques autour d'un axe. Si a>0, elles montent et le sommet est un minimum. Si a<0, la parabole est inversée et le sommet est un maximum. Minimum et maximum sont deux extremums.

Cette forme sert vraiment : une antenne parabolique concentre les ondes en un seul point, et la trajectoire d'un ballon lancé s'en approche. Ne la confonds pas avec la conique y²=2px, étudiée plus tard, ni avec l'hyperbole, qui a deux morceaux séparés, comme la courbe de x ↦ 1/x.

Avant de commencer, vérifie que tu sais :

• calculer une image f(a) ;
• développer un carré comme (x-2)² ;
• résoudre une équation du premier degré.

Lire une parabole : sommet, axe de symétrie et extremum

Prends f(x)=x²-4x+3, avec a=1 et b=-4. L'abscisse du sommet vaut α=-b/(2a)=4/2=2. Son ordonnée est β=f(2)=4-8+3=-1. Le sommet est donc S(2 ; -1), l'axe de symétrie est la droite x=2 et, comme a>0, le minimum vaut -1. Un tableau de valeurs confirme la symétrie.

Les images se répètent de part et d'autre de x=2. Pour g(x)=-x²+2x+3, on trouve α=1, puis β=g(1)=2+3-1=4. Comme a=-1<0, le maximum est 4, atteint en x=1.

L'erreur classique consiste à dire que l'abscisse du sommet vaut -1 dans le premier exemple : c'est son ordonnée. L'autre piège est le signe moins de -b/(2a). Avec b=-4, l'oublier donne -2 au lieu de 2.

Trouver l'équation d'une parabole à partir de trois points

Regarde d'abord si l'un des points a pour abscisse 0. Ce point donne c directement, car f(0)=c. Voici la marche à suivre.

1. Pose f(x)=ax²+bx+c.
2. Remplace x et f(x) par les coordonnées de chaque point : une équation par point.
3. Résous en partant du point d'abscisse 0, qui fournit c, puis les deux équations en a et b.
4. Contrôle ta fonction en calculant l'image d'un des points : elle doit redonner son ordonnée.

Prenons A(0 ; 1), B(1 ; 0) et C(2 ; 3). Le point A donne c=1. Le point B donne a+b+1=0, soit a+b=-1. Le point C donne 4a+2b+1=3, soit 2a+b=1. En soustrayant les deux équations, on obtient a=2, puis b=-3. Donc f(x)=2x²-3x+1, et f(1)=0 comme f(2)=3 le confirment.

Si le sommet est donné, la forme canonique a(x-α)²+β est plus rapide : un seul autre point suffit pour trouver a. Dernier réflexe : la vérification. Sans elle, une faute de calcul sur a ou b passe inaperçue.

Huit exercices pour t'entraîner, du plus simple au plus difficile

Les exercices 1 à 3 (une étoile) portent sur les coefficients, les images et le tableau de valeurs. Les exercices 4 à 6 (deux étoiles) font trouver sommet, extremum et forme canonique. Les exercices 7 et 8 (trois étoiles) demandent une équation à partir de trois points, puis un problème de hauteur.

Correction

Retiens trois réflexes : le signe de a donne l'orientation, l'abscisse du sommet vaut -b/(2a) et le point d'abscisse 0 livre c.

Les interrogations courantes

Qu'est-ce qu'une parabole en mathématiques ?

C'est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré f(x)=ax²+bx+c, avec a≠0. Elle a la forme d'un U, un axe de symétrie et un sommet. Le signe de a indique si les branches montent ou descendent.

Quelle est l'équation d'une parabole ?

La forme développée est y=ax²+bx+c. La forme canonique y=a(x-α)²+β montre directement le sommet (α ; β). Ne la confonds pas avec la conique y²=2px.

Comment trouver l'extremum d'une parabole ?

Calcule l'abscisse du sommet α=-b/(2a), puis son ordonnée β=f(α). L'extremum est β : un minimum si a>0, un maximum si a<0. Pour x²-4x+3, on trouve α=2 et un minimum égal à -1.

Comment trouver l'équation d'une parabole avec trois points ?

Écris f(x)=ax²+bx+c, puis une équation par point. Si un point a pour abscisse 0, son ordonnée donne c. Résous ensuite le système en a et b, puis vérifie avec un point.

Comment déterminer l'équation d'une parabole dont on connaît le sommet ?

Écris f(x)=a(x-α)²+β avec les coordonnées du sommet, puis utilise un autre point pour trouver a. Avec S(2 ; -1) et le point (0 ; 3) : 3=4a-1, donc a=1 et f(x)=(x-2)²-1.

Comment tracer une parabole en maths ?

Calcule le sommet et trace l'axe x=α. Dresse un tableau de valeurs avec quelques abscisses de part et d'autre. Place les points, symétriques deux à deux, puis relie-les par une courbe lisse en forme de U.