Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison. Son terme général est un = u0 + n r. Pour la prouver, montre que un+1 - un reste constant.
Entre u3 et u12, on ajoute la raison 9 fois, pas 10. Ce piège figure parmi les plus fréquents en Première, avec la confusion entre différence constante et rapport constant. Chaque corrigé donne le résultat puis une phrase pour comprendre pourquoi.
Suite arithmétique : définition, raison et formules à connaître
Objectif : reconnaître une suite arithmétique, donner sa raison, calculer un terme puis une somme.
Une suite arithmétique vérifie un+1 = un + r. Le terme général s'écrit un = u0 + n r, et plus généralement un = up + (n - p) r. Si la suite démarre à u1, on n'ajoute que n - 1 fois la raison. Le signe de r fixe le sens de variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0.
| Critère | Suite arithmétique | Suite géométrique |
|---|---|---|
| Passage au terme suivant | on ajoute r | on multiplie par q |
| Formule explicite | un = u0 + n r | vn = v0 × qn |
| Cinq premiers termes | 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 (u0 = 3, r = 4) | 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 (v0 = 3, q = 2) |
| Points dans un repère | alignés | non alignés (sauf si q = 1) |
Pour trancher vite, compare les écarts puis les quotients de termes consécutifs : écart constant, arithmétique ; quotient constant, géométrique.
Prouver qu'une suite est arithmétique et calculer un terme
Un seul critère décide : la différence un+1 - un doit être un nombre indépendant de n.
- Écris un+1 en remplaçant n par n + 1 dans la formule donnée.
- Forme la différence un+1 - un.
- Développe et simplifie jusqu'à obtenir un nombre sans n.
- Conclus par une phrase : « La suite est arithmétique de raison r. »
- Relève le premier terme, puis applique un = u0 + n r.
Avec un = 4n + 7, la différence vaut 4 : la suite est arithmétique de raison 4. Avec un = n2, elle vaut 2n + 1 et dépend de n : la suite n'est pas arithmétique.
Pour un terme éloigné, u0 = 5 et r = 3 donnent u12 = 5 + 12 × 3 = 41. Avec deux termes connus, r = (uq - up) / (q - p) : u2 = 9 et u7 = 24 donnent r = 15 / 5 = 3.
Erreur fréquente : vérifier deux ou trois termes ne prouve rien. La suite un = 2n + n(n - 1)(n - 2) donne 0 ; 2 ; 4 pour n = 0 ; 1 ; 2, puis 12 pour n = 3. La conclusion doit porter sur un n quelconque.
Calculer la somme de termes sans se tromper sur le nombre de termes
Dans 2 + 5 + 8 +... + 62, y a-t-il vingt ou vingt et un termes ? La somme vaut le nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2. De u0 à un, il y a n + 1 termes. Ici, u20 = 62 : 21 termes, soit S = 21 × 64 / 2 = 672. Compter 20 termes mènerait à 640. Le bon réflexe : rang du dernier terme, moins rang du premier, plus 1.
Selon une anecdote attribuée au jeune Gauss, pour additionner 1 à 100, on associe 1 + 100,2 + 99, et ainsi de suite : cinquante paires de 101, soit 5050. La même idée donne 1 + 3 +... + 19 = 10 × 20 / 2 = 100, ou les poignées de mains entre 10 personnes, 0 + 1 +... + 9 = 45. La somme géométrique obéit à une autre formule.
Huit exercices corrigés, du calcul de la raison au problème
Avance du plus simple au plus difficile. Imprime la fiche, puis retire la page de correction pour la version élève.
Prénom :................ Date :................
Exercice 1
Donne la raison de 4 ; 9 ; 14 ; 19. r =........
Exercice 2
Soit u0 = 7 et r = -2. Calcule u10. u10 =........
Exercice 3 2/2
On sait que u3 = 11 et u8 = 31. Détermine r puis u0. r =........ u0 =........
Exercice 4 2/2
Prouve que un = 3n - 5 définit une suite arithmétique.........................
Exercice 5 2/2
Une suite arithmétique a pour raison -0,5 et un premier terme positif. Donne son sens de variation.........
Exercice 6 2/2
Calcule 1 + 2 +... + 40. S =........
Exercice 7 3/3
Une salle compte 15 rangées, 12 sièges au premier rang et 2 de plus à chaque rang. Calcule les sièges du dernier rang, puis le total......... et........
Exercice 8 3/3
Soit u0 = 1 et un+1 = un / (1 + 2un). Pose vn = 1 / un, montre que v est arithmétique de raison 2, puis exprime un en fonction de n.........................
Défi bonus : trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ont pour somme 21 et pour produit 315. Trouve-les.........
Correction
Exercice 1 : r = 5. On ajoute 5 à chaque pas, ce n'est pas un rapport.
Exercice 2 : u10 = -13. On ajoute dix fois -2, soit 7 - 20.
Exercice 3 : r = 4 et u0 = -1. L'écart de rang est 8 - 3 = 5, donc r = 20 / 5, puis u0 = 11 - 3 × 4.
Exercice 4 : différence constante égale à 3. Pour un n quelconque, 3(n + 1) - 5 - (3n - 5) = 3.
Exercice 5 : suite décroissante. Seul le signe de r compte.
Exercice 6 : S = 820. Il y a 40 termes et non 41 : 40 × 41 / 2.
Exercice 7 : 40 sièges au dernier rang, 390 au total. On ajoute 14 fois 2, soit 12 + 28, puis 15 × (12 + 40) / 2.
Exercice 8 : v arithmétique de raison 2 et un = 1 / (2n + 1). On obtient vn+1 = (1 + 2un) / un = vn + 2, avec v0 = 1, donc vn = 2n + 1.
Défi bonus : 5 ; 7 et 9. Le terme central vaut 21 / 3 = 7, puis 7(49 - r2) = 315 donne r = ±2.
Réponses à vos questions
Quelles sont les suites à la fois arithmétiques et géométriques ?
Les suites constantes : arithmétiques de raison 0, géométriques de raison 1. Si r est non nul, (u0 + r)2 = u0(u0 + 2r) impose r = 0, donc la suite n'est pas géométrique.
Quelles sont les suites arithmétiques ?
Celles dont l'écart entre deux termes consécutifs est constant : les entiers naturels (r = 1), les nombres pairs (r = 2), 20 ; 17 ; 14... (r = -3). Toute suite un = a n + b est arithmétique de raison a, pas n2.
Comment apprendre les suites arithmétiques ?
Retiens un+1 = un + r et un = u0 + n r, refais trois exemples sans le cours, rédige la preuve par la différence et recompte le nombre de termes de chaque somme.
Comment prouver qu'une suite est arithmétique ?
Calcule un+1 - un pour un n quelconque. Si le résultat est un nombre r indépendant de n, la suite est arithmétique de raison r. Tester quelques valeurs ne prouve rien.
Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?
S = nombre de termes × (premier + dernier) / 2. De u0 à un, il y a n + 1 termes. Par exemple, 1 + 2 +... + 40 vaut 40 × 41 / 2 = 820.
Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?
Dans la première, on ajoute toujours r : les points sont alignés. Dans la seconde, on multiplie toujours par q. Avec 3 pour premier terme, r = 4 donne 3 ; 7 ; 11 et q = 2 donne 3 ; 6 ; 12.
Retiens trois réflexes : calculer un+1 - un pour prouver qu'une suite est arithmétique, compter n - p écarts entre deux rangs, vérifier le premier indice avant d'appliquer une formule. Cherche chaque exercice sans regarder la correction, puis compare. Télécharge le PDF, imprime la version élève et refais les exercices ratés une semaine plus tard.
À propos de l'auteur
Camille Lefèvre, Rédactrice spécialisée en Français
Camille Lefèvre rédige les fiches de méthode et les exercices corrigés de la rubrique Français, pour les classes de lycée.
